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Nullpunktenergie von Metallen

Ein Bereich in dem man von einer quantenmechanischen Nullpunktenergie sprechen kann ist das Elektronengas in einem Metall. Ein Metall ist ein Feststoff, in dem sich einige der Elektronen, die Bindungselektronen, relativ frei bewegen können. Diese Freiheit der Elektronen ist für die klassischen Metalleigenschaften wie elektrische Leitfähigkeit und Metallglanz verantwortlich. Die Elektronen stoßen sich aufgrund ihrer elektrischen Ladung gegenseitig ab, da sie sich aber in einem Gitter aus positiv geladenen Metallatomen befinden, wird ihre Ladung größtenteils kompensiert und man kann die Elektronen als relativ unabhängig voneinander ansehen. Sie verhalten sich also beinahe wie ein Gas.

Drude-Modell: klassisches Elektronengas

Die Idee Elektronen in einem Metall wie ein Gas zu behandeln ist alt. Bereits wenige Jahre nachdem die Elektronen 1897 von J. J. Thomson entdeckt wurden, arbeitete P. Drude das nach ihm benannte Drude-Modell des Elektronengases aus. Nach Drudes Theorie müsste die Energie der Elektronen am absoluten Temperaturnullpunkt Null werden. Die Elektronen wären dann an ihren momentanen Positionen eingefroren.

Sommerfeld-Modell: Das Fermigas

Mit der Entwicklung der Quantenmechanik in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stellte sich heraus, dass bewegungslose Elektronen gar nicht möglich sind. Als Quantenobjekte haben Elektronen Welleneigenschaften und können damit nicht in völliger Ruhe sein. In einem Kasten eingesperrt müssen die Elektronen sogenannte stehende Wellen bilden, wie sie als Resonanzschwingungen in Musikinstrumenten auftreten. Das Bild rechts zeigt vier solcher stehender Elektronenwellen in einem Kasten. Die Energie E einer Elektronenwelle hängt von der Wellenlänge ab und berechnet sich zu:

Zusätzlich zu der Wellenlänge treten hier noch die Naturkonstanten h, das Plancksche Wirkungsquantum, und m, die Elektronenmasse, auf. Es kommt jedoch für die Nullpunktenergie darauf an, dass die Energie um so größer wird, je kleiner die Wellenlänge ist. Der Zusammenhang ist quadratisch, so dass sich die Energie bei halber Wellenlänge vervierfacht.

Pauliprinzip

Neben der Wellennatur haben die Elektronen die Eigenschaft, dass zwei Teilchen nicht den gleichen Zustand einnehmen können. Den unteren im Bild dargestellten Zustand können so nur zwei Elektronen einnehmen, die sich in ihrer Eigenrotation (dem Spin) unterscheiden müssen. Die nächsten beiden Elektronen müssen die zweitgünstigste Welle bilden und besitzen damit eine viermal größere Energie. Man muss also um so mehr stehende Wellen in Betracht ziehen, je mehr Elektronen ein metallischer Kasten enthalten soll. Dies entspricht der Beobachtung, dass es schwer ist, Materie zusammenzupressen. Elektronen nehmen einen bestimmten Platz ein und wenn man mehr Elektronen auf den gleichen Platz zusammendrücken möchte, so muss man Kraft aufwenden und Energie in das System hineingeben.

Fermienergie und Fermitemperatur

Ich möchte die vollständige Herleitung und Rechnung zum Fermigas hier nicht ausführen. Man findet sie in jedem einführenden Buch zur Festkörperphysik. Zum Beispiel in Kapitel 2 des Standardwerkes "Solid State Physics" von Neil W. Ashcroft und N. David Mermin. Es kommt heraus, dass die höchste auftretende Elektronenenergie am Temperaturnullpunkt, die Fermienergie, für ein typisches Metall im Bereich von einigen Elektronenvolt liegt. Diese Energie erreicht ein klassisches Gas erst bei Temperaturen von einigen zehntausend Grad Celsius. Diese fiktive Temperatur heißt Fermitemperatur.

Nullpunktenergie

Welche Nullpunktenergie steckt nun in den Elektronen eines Metalls? Da auch wir Physiker uns unter der Einheit Elektronenvolt nicht immer sofort etwas handfestes vorstellen können, möchte ich einmal ein Beispiel geben: Das Metall Kalium hat etwa 1,4 10²² Elektronen pro Kubikzentimeter. Die durchschnittliche Energie eines Elektrons liegt für dieses Metall bei 1,3 Elektronenvolt. Das entspricht 2,1 10^-19 Joule. Damit hat das Elektronengas von einem Kubikzentimeter Kalium eine Nullpunktenergie von mehr als 2900 Joule. Das sollte natürlich messbare Auswirkungen haben.

Auswirkungen der Nullpunktenergie

Die Nullpunktenergie des Elektronengases hat großen Einfluss auf die Kompressibilität eines Metalls. Da die Nullpunktenergie mit wachsender Elektronendichte ansteigt, muss man Energie aufwenden um das Elektronengas zusammenzudrücken. Der Widerstand eines Metalls gegen Druck beruht zu einem wesentlichen Anteil auf den Anstieg der Nullpunktenergie. Leider kann man die Nullpunktenergie jedoch nicht zur Energiegewinnung nutzen. Um den Druck des Elektronengases zu nutzen, müsste man es nämlich expandieren lassen. Ein Metall expandiert aber auch im Hochvakuum nicht wesentlich. Die elektrische Anziehung zwischen Elektronen und Atomkernen hält den inneren Druck selbstständig aufrecht. Er ist technisch nicht nutzbar. Aber immerhin verdanken wir der Nullpunktenergie die Härte der Metalle und nutzen sie so im täglichen Gebrauch.